Ну во-первых, не надо путать разные вещи и писать фразы типа "На протоколе взятия объяснения у несовершеннолетнего ребенка"
Данный документ не является протоколом.

Во-вторых, "объяснение(я)" не являются юридическим термином, предусматривающим процедуру их взятия (в отличии, например, от показаний)
Объяснение (в данном случае) - это ответы Вани, на вопросы.
Соответственно как только Ваня ответил на вопрос полицейского - он тем самым и дал объяснение.

То есть полицейский может вполне доложить: "31 октября мною там-то и там-то был замечен несовершеннолетний ребенок. В ответ на заданные с целью установления личности и местожительства вопрос ребенок дал объяснения, что его зовут Ваня, проживает он по адресу ..., в данном месте находится вместе с папой, который где-то рядом."

Объяснения, как я понимаю, брались на основании ст 13 п. 15 Закон о полиции:
Полиции для выполнения возложенных на нее обязанностей предоставляются следующие права:
15) доставлять несовершеннолетних, совершивших правонарушения или антиобщественные действия, а также безнадзорных и беспризорных в центры временного содержания для несовершеннолетних правонарушителей органов внутренних дел, в специализированные учреждения для несовершеннолетних, нуждающихся в социальной реабилитации, либо в служебное помещение территориального органа или подразделения полиции по основаниям и в порядке, которые предусмотрены федеральным законом;

Целью взятия объяснений было выяснений статуса Вани - не является ли он беспризорным или безнадзорным, и как над ним осуществляется надзор его родителями, и как он тут оказался. Ваня всё объяснил.

Данная процедура нерегламентирована, как и нерегламентированы задаваемые полицией вопросы.
Принимать отдельный закон по поводу регламентации задаваемых полицией вопросов глупо.